「寝違えた」を調べると목을 접질리다と出ました。例文で발목을 접질리다と발목을 삐다があって、同じ「捻る、捻挫する」という意味だと 思ったのですが、どちらが「寝違える」の意味には、いいでしょうか?

→「寝違える」
→「寝ていためた」ことをしっかり伝える場合は、잘못 자다を使います。

접질리다と삐다は「挫く」という意味になります。 
집질리다や삐다だけでは寝ていていためたかどうかは意味の中に含まれませんね!

「寝違えて首が痛い」と言いたいのであれば、
→잘못 자서 목이 아프다. とするといいですね!

挫くという表現には、접질리다, 삐다 がありますが、これらは二つとも同じ意味ですが、 
접질리다…主に、手首(손목)や足首(발목) 삐다…指(손가락)や腰(허리)など、
身体中のいろんな関節に使われる という点だけ少し差があります。